Produktionsplanung
Die Realität als mathematisches Optimierungsmodell
Sie ist eine der ältesten Teilbereiche der Künstlichen Intelligenz: Mathematische Optimierung! Warum moderne Produktionsplanung ohne sie nicht auskommt.
Mathematische Optimierung ist als ein Teilbereich der Künstlichen Intelligenz die geeignete Methode, um komplexe reale Probleme zu lösen. Im wissenschaftlichen Fachgebiet des Operations Research entwickelt, ist sie der Kern einer modernen Optimierungssoftware. Mit ihr gelingt es, die Realität komplexer Prozesse in ein mathematisches Modell zu überführen. Dabei ist es egal, ob man Produktionsabläufe, Transportreihenfolgen oder Beschaffungs- und Absatzplanungsprozesse plant. Das mathematische Modell beschreibt den gesamten Spielraum aller möglichen Entscheidungen. Unter ihnen findet ein entsprechender Algorithmus zu einer vorgegebenen Zielstellung unter Beachtung aller Restriktionen die beste Entscheidung.
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Entscheidungsvariablen sind Dinge, die man anpassen kann! Rahmenbedingungen sind Beschränkungen! Mathematische Optimierung heißt: Machen Sie das Beste aus den Beschränklungen!
Die richtige Antwort auf die entscheidende Frage
Stellen Sie sich vor, Sie sind Produktionsplaner. Ihre Ziele lauten: hohe Termintreue, geringe Durchlaufzeiten, niedrige Kosten. In der Praxis jedoch führen knappe Lieferfristen, kurze Produktlebenszyklen sowie viele Produktvarianten zu einer komplexen Produktion. Hierbei sind die Abhängigkeiten einzelner Fertigungsschritte bei Vor-, Zwischen- und Endprodukten sowie die daraus entstehenden Restriktionen hinsichtlich personeller, materieller und maschineller Kapazitäten kaum zu überblicken. Auf die entscheidende Frage, wann welche Fertigungsaufträge in welcher Reihenfolge auf welchen Maschinen bearbeitet werden sollen, existieren daher unüberschaubar viele Antworten. Unter ihnen genau die eine zu finden, mit der sich der beste Effekt in puncto Termintreue, Durchlaufzeiten und Kosten erzielen lässt, gelingt nur mit Mathematischer Optimierung. Doch wie funktioniert das, was im Hintergrund spezialisierter Produktionsplanungssoftware abläuft?
Drei Schritte
Mathematische Optimierung geht in drei Schritten vor: Die Formulierung eines realen Problems als mathematisches Modell, die Entwicklung von Algorithmen zur Lösung dieser mathematischen Modelle sowie die Entwicklung von Softwareprogrammen zur Ausführung und Erstellung der Modelle und Algorithmen. Das mathematische Modell eines Produktionsplanungsproblems beispielsweise umfasst Entscheidungsvariablen und feststehende Parameter sowie sämtliche Beziehungen, die zwischen diesen bestehen. Die Entscheidungsvariablen repräsentieren im Wesentlichen die Fragen, die sich jeder Produktionsplaner ständig stellen muss: Wann und auf welcher Maschine soll ein Arbeitsgang verplant werden? Kann ich ein Bauteil verwenden oder nicht? Soll die Wartung einer Maschine heute oder morgen stattfinden? Wann soll ein Kunde beliefert werden? Diese und zahlreiche weitere Fragen lassen sich mathematisch anschaulich formalisieren. Jede Antwort auf eine dieser Fragen bedeutet eine Entscheidung, bei der man jedoch einen gewissen Spielraum hat. Daher sind sie im mathematischen Modell die Variablen. Der Spielraum, den man durch die Variablen gewinnt, wird allerdings eingeschränkt durch feststehende Rahmenbedingungen wie personelle und maschinelle Kapazitäten, unveränderliche Montagereihenfolgen, Materialverfügbarkeiten und vieles mehr. Diese deterministischen Parameter setzt man nun in Beziehung zu den Entscheidungsvariablen. Die Frage, ob ein Bauteil verwendet werden kann oder nicht, hängt u.a. davon ab, ob es bereits verfügbar ist. Solche Abhängigkeiten lassen sich relativ einfach in Form sogenannter Restriktionen mathematisch formulieren. Daneben erhält das Modell noch eine Zielfunktion, die minimiert oder maximiert werden muss. Je nach Strategie stellen sich Unternehmen hier die Frage, welcher Produktionsplan der beste ist, wenn man die Produktionskosten minimieren oder die Termintreue maximieren möchte.
Kernaufgabe der Mathematik
Die Mathematik liefert hierzu die Antwort. Denn letztlich geht es um die die Bestimmung von Extremwerten einer Funktion. Und das ist eine der Kernaufgaben von Mathematik. Die Bestimmung der Extremwerte geschieht hierbei unter Beachtung der zahlreichen Nebenbedingungen, die in Form von Gleichungen oder Ungleichungen betrachtet werden. Mathematisch gesehen liegt also der Kern der Optimierung in der Lösung von Extremwertaufgaben in Form einer meist linearen Funktion mit Gleichungen oder Ungleichungen als Nebenbedingungen. Man spricht in diesem Fall auch von Linearer Programmierung.
Entscheidung mit Blick auf das Gesamtsystem
Das mathematische Modell bildet nicht nur den Produktionsprozess ab. Vielmehr umreißt es einen Lösungsraum für ein Optimierungsproblem, den man mit einem Algorithmus untersuchen kann. Dabei führt der Algorithmus - vereinfacht gesagt - fortlaufend einen mathematischen Beweis durch, der zeigt, dass die beste Lösung im Bereich A und nicht im Bereich B des Lösungsraums liegen muss. Auf diese Weise nähert sich der Algorithmus schrittweise dem bestmöglichen Produktionsplan. Dabei schlagen gute Algorithmen diese Entscheidungen immer mit Blick auf das gesamte System vor. Es geht daher bei Fragen der Maschinenbelegung nicht nur darum, immer den jeweils nächsten Folgeauftrag auf einer freien Maschine einzuplanen. Stattdessen erkennt ein Algorithmus, dass es gegebenenfalls besser ist, den Folgeauftrag fünf Minuten länger warten zu lassen, da dann eine Maschine frei wird, die für diesen Auftrag besser geeignet ist. Dabei arbeitet eine entsprechende Software automatisiert im Hintergrund. Ein Mathe-Ass muss ein Produktionsplaner nicht sein. Vielmehr ist er in der Lage, die Produktionsabläufe auf einer breiten Wissensbasis zu organisieren. Da wo es ihm nötig erscheint, kann er die Vorschläge der Software auch jederzeit übersteuern.
Ein Mathe-Ass muss niemand sein, um mit Software auf Basis Mathematischer Optimierung arbeiten zu können!
Bedeutung von Mathematischer Optimierung wird zunehmen
Mathematische Optimierung wird zukünftig eine noch stärkere Rolle spielen. Vor allem, weil sich in Kombination mit anderen KI-Technologien ihre Wirksamkeit weiter erhöhen wird. Hier ist besonders das maschinelle Lernen zu nennen, mit dessen Hilfe man relevante Daten ermittelt und so besseren Input für die Erstellung und Berechnung der Modelle gewinnt. Parallel wird auch die algorithmische Forschung die Beschleunigung der Algorithmen fortführen, so dass auch in Zukunft optimale Pläne für immer komplexere Produktionsprozesse mit der geforderten Geschwindigkeit berechnet werden können.
Operations Research: Im Windschatten der KI
Mathematische Optimierung gehört zum Forschungsgebiet des Operation Research (OR). Bei INFORM war und ist OR die Basis für die Entwicklung spezialisierter Optimierungssoftware.
Lesen Sie hier, wie INFORM als eines der ersten Unternehmen OR für wirtschaftliche Anwendungen im Rahmen von Softwaresystemen nutzbar zu machte.